Sangaku

Los Sangaku, dibujos geométricos en los que el valor artístico está a la par con el de su contenido matemático, son una muestra del alto nivel cultural que pueden alcanzar las Matemáticas recreativas.

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En los templos sintoístas y budistas del Japón medieval podían observarse suspendidas en los aleros de los tejados multitud de ofrendas que los fieles hacían en papel o en tablillas de madera, con exquisitos dibujos que hacían gala del refinamiento artístico que había alcanzado por entonces el arte japonés. Entre estas tablillas había algunas con figuras geométricas dibujadas en vivos colores en las que triángulos, circunferencias, elipses y esferas aparecían unas en el interior de las otras y que planteaban fascinantes problemas geométricos. Eran sangaku, que literalmente quería decir “tablilla matemática”.

Retos matemáticos

Un sangaku es un problema matemático, generalmente de Geometría, que aparece planteado en una tablilla de madera. Por ejemplo, un sangaku sencillo es el siguiente: el cuadrado azul tiene lado de longitud L. ¿Cuánto miden los radios de las circunferencias roja y verde y el lado del cuadrado amarillo?

Por si alguien se anima a intentarlo, la respuesta a este problema es que el radio de circunferencia verde vale 39/320 L, el de la roja L/16 y el lado del cuadrado amarillo 3/5 L.

En la tablilla se incluía la respuesta, pero no la manera de resolver el problema. Luego, esta tablilla se mecería al viento en el alero de alguna casa o de un templo planteando su reto silencioso: ¿Eres capaz de resolverlo?

Parece probable que algunos maestros utilizaran este tipo de problemas en la enseñanza de las Matemáticas en las escuelas, pero todo apunta a que se trataba de Matemáticas puramente recreativas y que eran practicadas por campesinos, comerciantes o samuráis por el puro placer de resolver un problema.

Actualmente se han llegado a recuperar y clasificar 825 sangaku que estaban repartidos por entre casi todas las prefecturas de Japón. La mayoría de ellos se pueden resolver utilizando los conocimientos de la Geometría Euclidiana que se imparten en los primeros cursos de enseñanza media. Pero algunos de ellos son extremadamente difíciles y requieren técnicas matemáticas modernas, como el Cálculo o el empleo de transformaciones afines. A pesar de que la finalidad de los sangaku parece ser, y de hecho lo es, meramente recreativa, en ellos aparecen algunos teoremas importantes de la Matemática occidental.

Este sangaku, por ejemplo, que plantea calcular el radio del n-ésimo círculo azul en función del radio r del círculo verde, se encontró en 1788 en la prefectura de Tokio. Es un problema difícil que fue exhaustivamente estudiado por Descartes y posteriormente por Malfati. Y este es un hecho que llama la atención de los historiadores de la Matemática, ya que el florecimiento de los sangaku coincidió con una época en la que Japón había cerrado herméticamente sus fronteras y no existía ninguna posibilidad de comunicación entre sus conocimientos y los que se desarrollaban en la cultura occidental.

El período Edo

A principios del siglo XVII aparecen en Japón las primeras publicaciones importantes de matemáticos, coincidiendo con un período de paz que duraría cerca de dos siglos y medio. Hasta entonces el país había sido devastado por guerras internas entre clanes rivales que competían por hacerse con el poder. El orden fue restablecido por el Shogun (máxima autoridad después del emperador) Tokugawa Ieyasu (1542-1616), quien llevó a cabo una reunificación política y económica del país amparado en la legitimidad que le otorgaba el emperador. La capital se trasladó entonces de Kioto a Edo, ciudad emplaza en el mismo sito que se encuentra actualmente Tokio. Desde 1639 hasta 1854, Japón, todavía bajo el domino del clan Tokugawa, llevó a cabo un aislamiento voluntario del resto del mundo. Cualquier tipo de contacto o acceso al conocimiento que procedieran de fuera de sus fronteras fue eliminado. El aislamiento de Japón durante este período fue tan estricto que alguien que emprendiera un viaje al exterior, fuera de la duración que fuera y por el motivo que fuera, era condenado a muerte. En 1854, por mediación de una fuerza naval norteamericana, el gobierno fue derrocado y terminó el período de aislamiento, aunque oficialmente se considera que el período Edo finalizó en 1867.

En cualquier caso, fue una época que marcó el desarrollo de una cultura a la que se puede considerar de identidad netamente japonesa, en la que alcanzaron su apogeo artes como el teatro No, la pintura Sumi-ye y la decoración floral. Pero también las Matemáticas tuvieron un desarrollo importante y puramente genuino en un período de tiempo durante el cual se las llamó wasan.

Wasan

La palabra wasan se empleaba en Japón para referirse a las Matemáticas japonesas en oposición a las Matemáticas occidentales (yosan). Quizá la época más importante de este desarrollo está marcada por la presencia de un matemático Seki (1642-1718), al que se considera como el Leibniz japonés. A él se debe la implantación de una poderosa teoría de determinantes de la que surgieron muchas aplicaciones prácticas. Su desarrollo algebraico permitía a los matemáticos japoneses resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando un método muy similar al que 200 años después se utilizaría en Occidente (método de Cramer). Uno de sus hallazgos más sorprendentes es el del método enri, de características muy similares al que en occidente se conocía como método de exhaución y que se utilizaba para el cálculo de superficies delimitadas por líneas curvas. Concretamente para calcular el área del círculo a base de aproximaciones con polígonos regulares inscritos y circunscritos. El método enri se diferenciaba básicamente en que se aproximaba al círculo mediante rectángulos. Este método, que tenía la ventaja de que se podía extender a todo tipo de curvas, se acercaba mucho al concepto de integral que más tarde se desarrollaría en la Matemática occidental. Se supone que algunos de los problemas difíciles que planteaban los sangaku fueron resueltos empleando la técnica enri.

En este sangaku, encontrado en 1825, se ha representado un cilindro que es tangente interiormente a una esfera y se pregunta qué parte del área del cilindro está contenida en el interior de la esfera. Se cree que para la resolución de este problema se tuvo que emplear la técnica enri.

Yosan: el Teorema de los Círculos de Descartes

Una disposición de tres o cuatro círculos tangentes dos a dos, se denomina, en general, una configuración de Descartes. Si se define la curvatura c de una circunferencia como el inverso de su radio r (c = 1/r), se puede interpretar que una recta es un círculo degenerado que tiene radio infinito y, por lo tanto, curvatura cero.

En dichas condiciones, las siguientes figuras (que se encuentran en algunos sangaku) se pueden considerar como las configuraciones de Descartes (aunque Descartes, para establecer su teorema, consideró sólo la primera de ellas).

El llamado Teorema de de los Círculos de Descartes, que apareció en un carta que Descartes escribió en 1643 a la princesa Elisabeth de Bohemia, establece que . En el original no aparece exactamente esta fórmula, sino una bastante más complicada que, además, no acabó de demostrar completamente. La prueba completa la daría, en 1824, Jacob Steiner. Mas tarde, en 1936, Soddy llevó a cabo una generalización al espacio de tres dimensiones, en el que la configuración de Descartes se puede extender a n esferas mutuamente tangentes dos a dos.

Este Sangaku, que data del 1798, plantea el problema de hallar el radio de la esfera mayor en función del radio de una cualquiera de las 30 esferas que la rodean. Se hace difícil imaginar la resolución de este problema sin emplear los resultados obtenidos por Soddy.

Cabe destacar que Sir Frederick Soddy fue premio Nobel en 1921 por el descubrimiento de los isótopos. Su generalización del Teorema de Descartes a tres dimensiones fue publicada en 1936 en la revista Nature en forma de poema con el sugerente título de The Kiss Precise, que podría traducirse como El beso exacto, lo que, en cierta forma, hace referencia a lo que en geometría diferencial se llama el circulo osculador (ósculo, beso), una forma de expresar la tangencia como un beso entre las dos figuras que la forman:

“Cuatro círculos llegaron a besarse,

cuanto menores tanto más curvados,

y es su curvatura tan sólo la inversa

de la distancia desde el centro…”

Los teoremas japoneses

De entre todos los problemas que plantean los sangaku hay tres de ellos que son teoremas y llevan el nombre de dos importantes matemáticos japoneses Y. Mikami y T. Kobayashi. Son conocidos como los teoremas japoneses.

El primero de ellos se plantea de la siguiente forma:

En una circunferencia se inscribe un polígono cualquiera con un número cualquiera de lados. Desde uno de sus vértices se trazan todas las diagonales posibles hasta los otros vértices (en la figura hemos puesto un ejemplo con un polígono de seis lados). Se forman una serie de triángulos (en nuestro caso 4). En cada uno de estos triángulos se inscribe una circunferencia. La suma de los radios de dichas circunferencias es siempre la misma, no importa como se haya construido el polígono original

El segundo teorema japonés dice que si en una circunferencia cualquiera se inscribe un cuadrilátero de vértices ABCD y se trazan la dos diagonales AC y BD que se cortarán en un punto O, los centros de las circunferencias inscritas a los triángulos ABD, ABC, BCD y ACD forman los vértices de un rectángulo, sea cual sea la forma que le hayamos dado al cuadrilátero original.

El tercer teorema japonés se corresponde a un sangaku encontrado en en 1824 en la prefectura de Gumma:

Se consideran tres círculos tangentes a una misma recta y que sean también tangentes entre sí, de forma que sus radios sean:

El teorema afirma que se cumple siempre la ecuación:

De los tres teoremas japoneses, los dos primeros son algo difíciles y para resolverlos se requiere emplear algunos resultados de geometría superior. Sin embargo, el tercero se puede demostrar sin más conocimientos que el Teorema de Pitágoras y una cierta soltura en los razonamientos geométricos. Cualquiera puede animarse a intentarlo.

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