El cuaderno escocés

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El cuaderno escocés es una libreta de problemas, con algunos resueltos y otros todavía por resolver, cuya historia y contenido han hecho de ella un objeto de culto para una gran parte de la comunidad matemática.

Ulam, Banach, Sierpinski, Mazurkiewicz, Zygmund, Alfred Tarsky, Kuratowsky, … son nombres que destacan en la historia de la Matemática moderna. Y todos ellos, sorprendentemente, coincidieron en un mismo lugar y en una misma época: Polonia, entre la primera y la Segunda Guerra Mundial. Más concretamente en una ciudad llamada Lvov, centro administrativo de la provincia de Lviv y también centro histórico de Galicia, una región situada a caballo entre Polonia y Ucrania.

Lvov (en ruso), Lwów (en polaco) o Lemberg (en alemán), acreditan con sus diferentes nombres un pasado político agitado. Lugar de paso de las rutas comerciales que atravesaban los Cárpatos, la ciudad de Lvov recibió influencias culturales de ucranianos, polacos, judíos, austriacos, armenios, húngaros, griegos, italianos, serbios y moldavos. Influencias que dejaron su impronta en las fachadas de las casas, en el sinuoso trazado de las calles, en la densa atmósfera de los bares y en el talante alegre de sus habitantes.

Y fue en ese ámbito mayoritariamente bohemio, en el que las ciencias podían ser arte y las artes ciencia, donde nació una de las más singulares creaciones de las Matemáticas del siglo XX, unas Matemáticas que cimentaron sus conocimientos en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Lvov, pero que cobraron vida a tan sólo cien metros de allí, en el tumultuoso ambiente del Café Escocés.

El Café Escocés

Entre las cinco y las siete de la tarde, especialmente los sábados, cuando ya habían finalizado los seminarios en la Universidad de Lvov, el Café Escocés se convertía en lugar de peregrinación. A él concurrían químicos, físicos, algún que otro escritor, y gente que simplemente iba a pasar la tarde charlando delante de un café. Pero sobre todo acudían matemáticos. Un grupo compacto, que formaban una tertulia cerrada y que podían ser fácilmente identificados como una “tribu” aparte. Algunos discutían problemas entre ellos, mientras otros, como Banach, miraban simplemente por la ventana o se acercaban al tablero de ajedrez, en el que sabían que Auerbach volvería inexorablemente a ganar de nuevo su partida.

En ocasiones, una pregunta o un problema les llevaba a recogerse en sus propios pensamientos. Entonces, un extraño silencio se contagiaba en el ambiente, como si hubiera dado comienzo un ritual religioso. Casi se podía oír el ruido de las piezas al cambiar su posición en el tablero de ajedrez. Algunas miradas absortas parecían buscar una respuesta entre las pequeñas e inmóviles volutas del humo de los cigarrillos, mientras otras se concentraban en el fondo de las tazas, como si en los posos del café pudieran leer la solución del problema. Hasta que, repentinamente, como si el bar se hubiera despertado de un sueño, un vocerío entusiasta  retomaba el protagonismo, los cafés humeantes volvían a llenar las bandejas de los camareros y los lápices empezaban a agitarse nerviosos por encima de las blancas mesas de mármol, que se llenaban de signos matemáticos, como jeroglíficos que fueran a inmortalizar la tumba de un faraón.

El matemático húngaro Paul Erdös (1913-1996) dijo en una ocasión una frase que se ha hecho popularmente famosa en el mundo de las Matemáticas: “Un matemático es una máquina que convierte café en teoremas”. De ser así, sin duda, el Café Escocés fue la mayor fábrica de Matemáticas de la historia.

Originalmente las tertulias matemáticas del politécnico de Lvov se celebraban los sábados por la noche, coincidiendo con el final del seminario semanal de Matemáticas, en el Café Roma. Pero un día, Banach se enfadó con el dueño porque éste no le fiaba las consumiciones hasta final de mes, que es cuando cobraba el sueldo de la universidad. Decidió entonces trasladar la tertulia a otro bar que estaba situado justo enfrente, que era precisamente el Café Escocés. Y fue así como la historia de lo que podría haber sido el “Cuaderno romano” se convirtió en la historia del “cuaderno escocés”.

El cuaderno

En sus memorias, Ulam escribió: “Me acuerdo de una sesión en el Café Escocés con Mazur y Banach que duró 17 horas sólo interrumpidas por las comidas. Lo que más me impresionaba era cómo se podía hablar de Matemáticas, razonar y hallar demostraciones en estos debates”. Esa maratoniana reunión dio como fruto un importantísimo teorema de análisis funcional. Cuando el bar cerró, todos se marcharon cansados y satisfechos por los resultados obtenidos. Pero al día siguiente, que es cuando peligran los pequeños detalles de una demostración improvisada, se encontraron con que la mesa de mármol en la que habían estado trabajando resplandecía con un blanco incólume. No quedaba ni rastro del teorema. Los matemáticos, encabezados por Banach, pusieron el grito en el cielo y el dueño del local les recordó, por si lo habían olvidado, que el Escocés era un bar y que una de las obligaciones del personal consistía en limpiar las mesas cada día antes de cerrar.

Fue entonces cuando intervino Lucja, la mujer de Banach, que le entregó a su marido una libreta que había elegido cuidadosamente, con las páginas en blanco y encuadernada con sólidas tapas de pasta. Le sugirió que anotaran en él las cosas importantes y que al finalizar la jornada se lo dieran a alguien para que lo guardara. Y fue precisamente el dueño del bar quien se hizo responsable del cuaderno. Cuando alguien del grupo lo solicitaba se lo entregaba y al finalizar la jornada volvía a depositarlo tras la barra, en un lugar seguro. Y fue con esta pequeña complicidad como el dueño del Café Escocés se sintió definitivamente integrado con aquel grupo de “chalados”.

Se decidió que en el cuaderno se anotarían los enunciados de los problemas al inicio de las páginas impares dejando el resto y el reverso en blanco para escribir la solución. El 17 de julio de 1935, Banach escribió el primer problema.

Había nacido el cuaderno escocés.

En el cuaderno escocés hay escritos un total de 193 problemas. Banach escribió 25, 14 en solitario y los otros 11 junto con Mazur y Ulam. Mazur planteó 24 y Ulam, 40.

Steinhaus 10, y el resto fueron planteados por visitantes, algunos de ellos matemáticos tan destacados como Frechet o Von Neumann.

Los premios

La mayoría de los problemas que aparecen en el cuaderno escocés tienen adjudicado un premio que, a modo de recompensa, acostumbraba a elegir el mismo autor del problema. La gama de premios es variopinta: una taza de café, 100 gramos de caviar, una botella de whisky, una copa de coñac, una cena o un ganso vivo, eran algunos de los premios. También abundaban las invitaciones a comidas, aunque algunas, como las que se celebraban en Cambridge  o la famosa fondue de Wavre en Ginebra, encerraban una cierta picaresca, ya que no incluían los gastos de viaje y de todos era sabida la precariedad económica de los participantes. Algunas propuestas eran más sofisticadas, como la de Von Neumann, que prometió al que resolviera su problema una botella de “medida mayor que cero”, refiriéndose a la Teoría Matemática de la Medida.

El problema 153, propuesto por Mazur y que hacía referencia a bases de Schauder en espacios de Banach separables, permaneció sin resolver hasta 1972, año en que el matemático sueco Per Enflo encontró un contraejemplo. Obviamente, por entonces las tertulias del Café Escocés ya habían dejado de existir  pero, aún así, en 1973 se celebró en Varsovia una emotiva ceremonia en la se entregó a Enflo un ganso vivo.

En 1998, el matemático inglés William T. Gowers recibió un premio que no había sido estipulado en el cuaderno escocés. Gowers resolvió, mediante técnicas combinatorias, varios de los problemas que habían sido propuestos en el cuaderno. Por éste y otros trabajos adicionales, recibió la  Medalla Fields, el mayor galardón que se podía ofrecer entonces a un matemático.

El problema Nº 19

Quizás uno de los problemas más populares del libro escocés sea el número 19. Al menos, su enunciado es lo bastante inteligible para cualquiera que conozca los rudimentos de la geometría y el principio de Arquímedes. Fue propuesto por Ulam en los siguientes términos: “Si un sólido de densidad uniforme tiene la propiedad de flotar en equilibrio en cualquier posición en la que se le deje, ¿deberá ser éste necesariamente una esfera? En particular, cuando la densidad es cero: si un sólido descansa en equilibrio en cualquier posición en la que se le deje sobre una superficie plana horizontal, ¿deberá ser éste una esfera? “

La segunda parte del problema, cuando la densidad es cero, tiene una respuesta afirmativa, pero el caso más general sigue siendo actualmente una cuestión abierta. Hay, sin embargo, una versión bidimensional del problema que encierra algunos aspectos curiosos. Para poder imaginar una versión en dos dimensiones lo mejor es pensar que la figura en cuestión tiene forma cilíndrica. Un cilindro circular permanece flotando en equilibrio en cualquier posición que se le deje, siempre y cuando restrinjamos las posiciones a una sección transversal plana. En estas condiciones está claro que un círculo permanece en equilibrio sea cual sea la posición en que lo dejemos. Pero un círculo es una figura que tiene, entre otras, una propiedad interesante. Posee un punto P, que coincide con el centro de la circunferencia, tal que cualquier segmento que pase por él divide, tanto al perímetro como al área del mismo, en dos partes iguales.

Pero las circunferencias no son las únicas figuras que poseen esta propiedad. En 1921, el matemático austriaco K. Zindler (1866-1934) encontró la manera de construir figuras, conocidas como “curvas de Zindler”, que tenían esta propiedad. Se construyen de forma ingeniosa a partir de curvas de anchura constante. Por ejemplo, la siguiente figura

posee un punto P tal que cualquier segmento que pase por él divide el perímetro y el área en partes iguales. El corazón, o una figura que tiene una forma muy parecida a un corazón, es otra figura de Zindler.

El caso es que H. Auerbach, aquel al que nadie conseguía ganar al ajedrez en el Café Escocés, demostró en 1938 que, cuando la densidad del líquido era ½, las figuras de Zindler quedaban flotando en equilibrio en cualquier posición en que se las dejara.

Los tertulianos

Al principio, el núcleo duro de la tertulia lo formaban Banach, Steinhaus y Mazur. No se aceptaba a estudiantes, aunque se hicieron dos excepciones, la de Stanislaw Ulam y la de Josef Schreier. Al primero de ellos se deben la mayoría de datos que se conocen del Café Escocés, porque aparecen en su autobiografía. Con el tiempo, se añadieron a las reuniones otros matemáticos como Kaczmarz, Auerbach, Schauder, Kuratowski o Nikodym.

Pero, sin duda, el alma del café escocés fue Banach, uno de los matemáticos más excéntricos de su época. Odiaba los exámenes hasta tal punto que jamás se presentó a ninguno. Fue “descubierto” porHugo Steinhaus que, paseando un día por un parque, oyó casualmente una conversación entre dos amigos que hablaban sobre la “medida de Lebesgue”, una teoría matemática muy reciente. Steinhaus se metió en la conversación y quedó sorprendido por los conocimientos y el talento de Banach, un pasante de ingeniería que se ganaba la vida dando clases particulares de Matemáticas. Y consiguió convencerle para que entrara a formar parte de los círculos universitarios.  Steinhaus siempre decía que Banach había sido su mayor descubrimiento en Matemáticas. Gracias al valor y la originalidad de sus trabajos, Banach consiguió, aunque de forma totalmente irregular, que se le concediera el título de doctor, llegando a ser uno de los matemáticos más importantes del siglo.

A Banach le gustaba trabajar en bares, no sólo por el café, sino también porque los ambientes ruidosos le permitían concentrarse mejor. Prácticamente no ponía los pies en su despacho de la Universidad más que para asuntos de índole burocrática. Muchas veces, cuando todos los bares ya habían cerrado, se dirigía hacia la Estación del ferrocarril, cuyo bar era el único que permanecía abierto a esas horas.

Con el tiempo, las tertulias matemáticas del Café escocés traspasaron las fronteras y a ellas acudieron matemáticos del renombre de Lebesgue, Von Neumann, Frechet o Sierpinski. Y la mayoría de ellos dejaron, como testimonio, un problema en el cuaderno escocés.

En una ocasión, el matemático francés Henry fue invitado a cenar en el Café Escocés junto con otros quince miembros de la comunidad matemática de Lvov. El menú que le entregaron estaba en polaco y cuando el camarero se acercó a él para tomar nota, Lebesgue se lo devolvió y, utilizando el más puro estilo matemático, le dijo “Merci, je ne mange que des choses bien définies” (Gracias, yo sólo como cosas que estén bien definidas).

La guerra

En abril de 1939, Banach fue elegido presidente de la Academia de Matemáticas polaca y, en junio de ese mismo año, dicha institución le otorgó un premio que, además de honores, suponía una importante cantidad de dinero en metálico, la primera de la que Banach podría gozar en su vida. Pero tres meses después, los soviéticos ocuparon Lviv y congelaron todas las cuentas bancarias, de manera que Banach nunca llegó a cobrar su premio. Y las cosas siguieron más o menos igual. Durante los dos años que duró la primera ocupación soviética, en el cuaderno escocés aparecen problemas propuestos por matemáticos rusos de la talla de Aleksandrov, Sobolev o Lusternik.

Para cuando los nazis ocuparon Lvov, ya se había tomado la decisión de poner a buen recaudo el cuaderno de problemas. Lo guardaron en la caja de las piezas del ajedrez y luego la enterraron junto a uno de los postes de la portería de fútbol del estadio de la ciudad. Los nazis mataron a varios de los matemáticos del grupo (Schauder, Auerbach y Kaczmarz, entre otros). Ulam huyó a los EEUU y Banach consiguió sobrevivir a la guerra, pero murió al cabo de poco tiempo de que los rusos ocuparan de nuevo Lviv.

Después de la guerra, Steinhaus recuperó el cuaderno, lo copió a mano y le envió una copia a Ulam en 1956. Éste lo tradujo al inglés y envió 300 copias a diferentes universidades de todo el mundo. A partir de entonces, el cuaderno escocés se convirtió en leyenda.

Banach, antes de morir lo legó a su hijo Stephan, un neurocirujano que actualmente ejerce en Varsovia y que es la persona que posee el único original que existe del cuaderno escocés.

La última anotación del cuaderno está datada el 31 de mayo de 1941 y es de Steinhaus.

En 1957, cuando Ulam ya había traducido el Cuaderno escocés al inglés, acudió al Congreso Internacional de Matemáticas que se celebraba en Edimburgo (Escocia) y distribuyó copias entre los anfitriones, entre los que, debido al nombre del libro, se había creado una gran expectativa. Aquella fue la única decepción que causó el cuaderno a lo largo de su historia, cuando se percataron de que ninguno de los nombres que figuraban en él era escocés.

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